はじめてのEPP　Youtube動画　第8弾　名刺3枚でヘキサゴン

Kiki's Quiltへようこそ！

ペーパーライナーがあってはじめて作れるEnglish Paper Piecing。（イングリッシュ・ペーパー・ピーシング。頭文字を取って略してEPPイーピーピー）。

ちょっとずつ買えるライナーだけど、まずは身の回りにあるものでペーパーライナーを自作してお気に入りの生地を使ってEPPに挑戦してみたい人向けに今回は動画を撮りました。

名刺が3枚あったら名刺のカットとピースのつなぎ方次第でヘキサゴンが作れる。同じ大きさでほぼ同じ厚みの名刺を使うのが今回の大事なポイントです。

私はアメリカでスタンダードな名刺を3枚使ってEPPのヘキサゴンを作りました。

ここでニュースです。なんと！日本で流通している名刺は短い方の辺を片側2ミリほどカットしないと三角形を6枚集めても360度にならないことが判明。アメリカの名刺は黄金比なのに日本のはそうじゃないってどういうこと？！

詳しくはこんな感じです。

名刺の角と角をＸで繫いでカットすると2種類の二等辺三角形が取れます。この時名刺の短い辺には印をつけておいて三角形の一番短い辺が分かるようにしておきます。印をつけた辺を外周にするように六角形に並び替えます。一見すると正三角形に見えるものを6枚集めて繋ぐとアメリカの名刺で作ったバージョンはキレイに六角形になったのに日本の100均バージョンのものは六角形が波打ってしまいました。

アメリカサイズの名刺と日本のものを重ねてサイズ比較してみた。ちょっとずつ横も縦も日本のはデカイ。名刺の縦横比が違うんだと推測します。参考にしたサイトはここ。これを読んで、そもそも名刺サイズって世界共通じゃないのね!という発見をしました。海外で名刺入れを買って日本人にお土産にする時は十分気をつけよう。

アメリカの名刺は六角形を作れる黄金比なのに対して日本のものはそうじゃない。EPPをしようとする紙がどういう縦横比だと長方形から三角形を切り出して六角形を作るという概念が通用しないのか、という疑問が湧いてきました。

まず
・どの角も90°より小さい三角形
　＝鋭角三角形(えいかくさんかくけい)
・ある角が90°より大きい三角形
　＝鈍角三角形(どんかくさんかくけい)
という便利な呼び名があるので使ってみると、

■問い
　長方形の２本の対角線を結んでできる２等辺三角形４つのうち鋭角三角形が正三角形になるための条件は何か。

■答案
　(長方形の長辺)÷2 : (長方形の短辺)
　＝ (正三角形の高さ) : (正三角形の底辺)
　＝ √3 : 2 ＝ 1.732... : 2

ちなみに「黄金比　縦:横＝1 : (1+√5)/2」なので
長方形の短辺と長辺が黄金比のときにできる鋭角三角形で同じ計算をしてみると

(長方形の長辺)÷2 : (長方形の短辺)
　＝(1+√5)/2 ÷2 : 1
　＝(1+√5)/2 : 2
　＝1.618... : 2
となります。これは正三角形になるための条件
「√3 : 2(＝ 1.732... : 2)」を満たさないので正三角形っぽいけど厳密には違うってことですね。高さが正三角形より少し低い。

はがきの比率は1:1.48 だそうなので、これも正三角形にはならない。

次の疑問。

■問い
　名刺からできる鋭角三角形は正三角形にどれくらい近いか

■答案
　①欧米の主流　51:89
　　(長方形の長辺)÷2 : (長方形の短辺)
　　＝89/2 : 51
　　＝1.745... : 2

おー、正三角形の条件「√3 : 2(＝ 1.732... : 2)」に近い！！

②日本の主流　55:91
　　(長方形の長辺)÷2 : (長方形の短辺)
　　＝91/2 : 55
　　＝1.654... : 2

うーん、欧米サイズの名刺に比べると日本の名刺は正三角形から離れてますね。

次の疑問。正三角形でなくてもほぼ正三角形な二等辺三角形を6枚組み合わせて六角形を作る時に波打つか波打たないか、の判断はどこでできるか?

・波打つ＝中央に集まる角度の合計が360°より大きい
・つっぱる＝中央に集まる角度の合計が360°より小さい

■問い
　「波打つ＝中央に集まる角度の合計が360°より大きくなる」ような、元の長方形の辺の比の条件は何か

■答案

中央に集まる角度の合計が360°より大きい
　＝中央に置いた角がそれぞれ60°より大きい
　＝ざっくり言うと 鋭角三角形が正三角形より横長である
　＝ざっくり言うと 鋭角三角形の高さが正三角形より低い
　と言い換えられる。

ここで先程の正三角形となるための条件
　　(長方形の長辺)÷2 : (長方形の短辺)
　　＝ (正三角形の高さ) : (正三角形の底辺)
　　＝ √3 : 2
　　＝ 1.732... : 2
　を思い出すと、いま言い換えた条件は

(長方形の長辺)÷2 : (長方形の短辺)
　＝ 1.732... : (2より長い)
　＝ (1.732...より短い) : 2

である(これが求めたかった条件)。

(以下確かめ算です。)
　ここで日本サイズの名刺から作る鋭角三角形は
　(長方形の長辺)÷2 : (長方形の短辺)
　＝1.654... : 2
　であった。これは条件 「(1.732...より短い) : 2」を満たしているから波打つはずであり妥当な結果である。

もっと簡単に言うと、

・長方形の縦横比が 1 : √3 のとき正三角形
・長方形がそれよりも太くて短いと波打つ
・長方形がそれよりも細長いときつっぱる

ということで。官製はがきにこの公式を当てはめてみる。

官製はがきのサイズは横縦100mm✖148mmである。　

148/2 : 100
=74 : 100
=0.74 : 1
=1.48 : 2

正三角形の条件「√3 : 2(＝ 1.732... : 2)」から離れている。よって、官製はがきでは今回の方法で角と角を結んでカットしても六角形にはならないことが分かった。